前几个必败点如下：(0，0)，(1，2)，(3，5)，(4，7)，(6，10)，(8，13)……可以发现，对于第k个必败点(m(k),n(k))来说，m(k)是前面没有出现过的最小自然数，n(k)=m(k)+k。一个必败点有如下性质：(必败点称为奇异局势) 1.所有自然数都会且仅会出现在一个必败点中； 证明：m(k)是前面没有出现过的最小自然数，自然与前k-1个必败点中的数字都不同；m(k)>m(k-1)，否则违背m(k-1)的选择原则；n(k)=m(k)+k>m(k-1)+(k-1)=n(k-1)>m(k-1)，因此n(k)比以往出现的任何数都大，即也没有出现过。又由于m(k)的选择原则，所有自然数都会出现在某个必败点中。性质1证毕。 2.规则允许的任意操作可将必败点移动到必胜点； 证明：以必败点(m(k),n(k))为例。若只改变两个数中的一个，由于性质1，则得到的点一定是必胜点；若同时增加两个数，由于不能改变两数之差，又有n(k)-m(k)=k，故得到的点也一定是必胜点。性质2证毕。 3.一定存在规则允许的某种操作可将必胜点移动到必败点； 证明：以某个必胜点(i,j)为例。因为所有自然数都会出现在某个必败点中，故i要么等于m(k)，要么等于n(l)。 若i=m(k)，j>n(k)，可从j中取走j-n(k)个石子到达必败点；若i=m(k)，j<n(k)，可从两堆同时拿走m(k)-m(j-m(k))，从而到达必败点(m(j-m(k))，m(j-m(k))+j-m(k))； 若i=n(l),从j中取出j-m(l)，即可到达必败点(m(l),n(l))。 判断一个点是不是必败点的公式与黄金分割有关，为： m(k) = floor( k * (1 + sqrt(5))/2 ); n(k) = m(k) + k.
